DISTRIBUSI BINOMIAL

DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukan sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masingmasing percobaan tidak saling mempengaruhi (independent). Kita kembali ke situasi dimana seorang ilmuwan melakukan percobaan, percobaan itu mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu berhasil atau gagal. Probabilitas untuk berhasil dari setiap percobaan adalah p dan probabilitas gagal adalah I-p. Jika peercobaan dilakukan sebanyak 10 kali, berapa percobaan akan menghasilkan keberhasilan? Pertama-tamakita menjawab pertanyaan: jika ilmuwan melakukan percobaan sebanyak 2 kali, berapa probabilitas kedua percobaan itu menghasilkan keberhasilan? Jika A adalah kejadian mendapatkan keberhasilan pada percobaan pertama dan B adalah kejadian untuk mendapatkan keberhasilan pada percobaan kedua, maka Pr (A) = P dan Pr (B) = p. Kejadian untuk mendapatkan keberhasilan pada kedua percobaan dapat ditulis A nB (A irisan B, lihat bab IV). Kita akan membuat asumsi penting, masing-masing percobaan adalah bebas. Hal ini berarti bahwa kemungkinan untuk mendapatkan keberhasilan pada percobaan tertentu tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan yang lain. Jika kedua percobaan tidak saling mempengaruhi, maka kita dapat mengalikan dua probabilitas: Pr (A n B) = Pr (A dan B) = Pr (A) x Pr (B) = p2 Dengan demikian probabilitas untuk mendapatkan keberhasilan baik dari percobaan Pertama maupun percobaan kedua adalah p2. Dengan alasan yang sama kita dapat menunjukkan probabilitas mendapatkan-keberhasilandari 10kali percobaan yaitu plO.Sebagai contoh,jika p = 0.8, maka probabilitas untuk mendapatkan 10 keberhasilan adalah 0.810= 0.017. Meskipun ada kemungkinan untuk mendapatkan keberhasilan pada berbagai percobaan, tetapi kemungkinan untuk mendapatkan 10 keberhasilan dari 10 kali percobaan adalah sangat tipis. Kita juga dapat menunjukkan bahwa probabilitas menghasilkan kegagalan dalam 10 kali Percobaan adalah (l-p) 10. Sebagai contoh,jika p= 0.8 maka kemungkinan menghasilkan10 kegagalan dari 10 kali percobaan adalah 0.210=0.0000001. Sekarang anggaplah kita ingin mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali percobaan. Untuk melakukan perhitungan ini kita perlu menggunakan suatu distribusi acak: distribusi binomial. Distribusi binomial dapat diterapkan pada berbagai situasi dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan, dan masing-masing mempunyai satu dari dua kemungkinan hasil. Kita menyebut dua kemungkinan hasil itu dengan keberhasilan dan kegagalan .meskipun untuk beberapa kasus mungkin ada penunjukkan yang berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali. AnggaplahX mewakili jumlah keberhasilan. Jika probabilitas untuk mendapatkan keberhasilan dari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i keberhasilan: Formula ini menunjuikkan fungsi kepekatan dari variabel acak binomial. X dikatakan sebagai variabel acak yang mempunyai distribusi binomial dengan parameter n dan p. Ingatlah: Jika n cukup besar, akan sulit untuk melakukan perhitungan dalam formula. Pada bab VIII kita akan melihat bahwa dimungkinkan untukmenggunakan distribusi lain yang disebut distribusi normal untuk perhitungan mendekati nilai dari distribusi binomial. Berikut ini adalah perhitungan dari kasus kita (p = 0.8dann = 10): Kita dapat melihat bahwa probabilitas untuk mendapatkan 6 keberhasilan dari 10 kali percobaan adalah 0.088. Formula ini adalah versi formula yang lebih umum dari formula yang digunakan dalam bab ill untuk menghitung probabilitas jumlah sisi H yang dihasilkan dari pelemparan mata uang sebanyak n kali. PERHITUNGAN HARAPAN DAN VARIAN DARI VARIABEL ACAK BINOMIAL Kita ingin menghitung harapan dan varian untuk variabel acak binomial. Sebagai contoh jika anda melakukan percobaan sebanyaak 100 kali dimana probabilitas keberhasila untuk setiap percobaan adalah 0.75, anda dapat mengharapkan secara rata-rata untuk mendapatkan 75 keberhasilan. Secara umum jika X adalah variabel acak binomial dengan pararneter n dan p, maka bersarnya harapan untuk keberhasilan adalah np. Anggaplah Al adalah variabel acak yang hanya mempunyai dua nilai kemungkinan: Al akan bernilai 1jika percobaan pertarna berhasil, dan Al bernilai 0 jika percobaan pertarna gagal.Demikian juga Azakan bernilai 1jika percobaan kedua berhasil dan bila percobaan kedua gagal nilai A2 akan sama dengan O. Kita mendefinisikan A3, A4, ..., An dengan cara yang sarna. Maka: X =Al + A2 + ...+ An Jumlah keberhasilan saran dengan penjumlahan seluruh A. Kita tahu dari bab VI bahwa masing-masing A adalah variabel acak Bernoulli. Sehingga: Karena masing-masing A adalah bebas (independent), kita mengerti bahwa: E(X) =E(AI) + E(A2) + ...+ E(A) =np Var(X)=Var(AI) + Var(A2)+ ...+ Var(A) =np(1-p) Garnbar 7.1 menunjukkan grafik fungsi kepekatan untuk distribusi binomial: PENERAP AN DISTRIBUSI BINOMIAL Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu: Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian pilihan ganda. Jumlah asuransi kecelakaan yang harns dibayar oleh perusahaan asuransi. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim. CONTOH SOAL PENERAP AN DISTRIBUSI BINOMIAL Anggaplah anda dihadapkan dengan 20 pertanyaan pilihan ganda dalam suatu ujian. Masing-masing pertanyaan mempunyai 4 kemungkinan jawaban, sehingga probabilitas anda dapat menjawab dengan benar adalah 0.25. Berapa probabilitas bahwa anda dapat menjawab paling tidak 10 pertanyaan dengan benar hanya dengan menerka. Penyelesaian Untuk menyelesaikan masalah ini kita perlu menghitung probabilitas distribusi binomial dengan n =20 dan p =0.25. Masing-masing probabilitas kurang dari 0.001, tetapi jika kita menjumlahkan keseluruhannya, kita akan menemukan bahwa kemungkinan untuk mendapatkan paling tidak 10 pertanyaan dapat dijawab dengan benar adalah 0.01386. (anda dapat melihat bahwa hanya 9 persen probabilitas bahwa anda dapat menjawab 3 pertanyaan dengan benar). Anggaplah anda membawa pesawat dimana pesawat itu menyediakan 200 tempat duduk. Rata-rata 7% orang yang memesang tempat tidak jadi terbang. Ini nampak sebagai pemborosan bila hanya menyediakan tempat pemesanan sebanyak 200 kursi untuk tiap penerbangan, karena andamengetahui bahwakemudian adatempatdudukyangkosong.Anda memutuskan untuk berspekulasi dengan menyediakan tempat pemesanan lebih dari 200 kursi. Jika ada lebih dari 200 pemesan yang akan berangkat, maka anda akan menghadapi masalah besar. Anda memperkirakan bahwa risiko terjadi kelebihan pemesan adalah 5%. Berapa banyak pemesanan yang dapat anda terima dengan tetap mempertahankan probabilitas risiko kelebihan pemesan kurang dari 5%? Penyelesaian Kita dapat menganggap tiap pemesanan sebagai percobaan, dan kita dapat mengatakan kejadian dimana orang yang memesan tempat akan terbang sebagai keberhasilan. (kita mengasumsikan bahwa tidak seorangpun terbang tanpa memesan tempat lebih dahulu.) Jika x adalah jumlah orang-orang yang terbang pada penerbangan tertentu, maka X mempunyai distribusi binomial dimana n adalah jumlah pemesanan tempat dan p=0.93. Anggaplah anda menyediakan 210 tempat. Kemudian kita dapat menghitung probabilitasnya. Probabilitas bahwa X akan lebih besar dari 206 dapat diabaikan. Akan ada kelebihan jika ada 201 atau lebih orang yang ingin terbang; sehingga jika kita menjumlahkan seluruh probabilitas pada tabel kita, kita dapat menemukan bahwa probabilitas kelebihan sekitar 7%, tetapi anda menginginkan probabilitas kelebihan kurang dari 5%, maka anda harns menyediakan tempat kurang dari 210. Kita dapat mengulangi perhitungan yang sarna untuk 209 pemesanan tempat, kita menemukan bahwa probabilitas kelebihan sekitar 4%. Dengan demikian anda harns menyediakan 209 tempat untuk tiap penerbangan karena ini adalahjumlah terbesar pemesanan tempat yang dapat anda terima dengan tetap mempertahankan risiko kelebihan kurang dari 5%. PERHITUNGAN PROPORSI KEBERHASILAN Sering kali kita tidak hanya tertarik pada jumlah keberhasilan dalarn n kali percobaan, tetapi juga proporsi dari keberhasilan. Jika X mewakili jumlah keberhasilan dan P mewakili proporsi keberhasilan, maka P =X/no Kita dapat menemukan E(P) dan Var(P) sebagai berikut: Nilai harapan dari proporsi keberhasilan sarna dengan p, probabilitas keberhasilan. Sebagai contoh, jika probabilitas bahwa suatu mesin akan berjalan sebagaimana mestinya adalah 3/4, maka anda dapat mengharapkan mesin tersebut bekerja 3/4 (75%) dari waktu yang anda opeasikan. DISTRIBUSI POISSON Distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi dari kejadian acak tertentu. Ini dapat digunakan sebagai pendekatan distribusi binomial. Variabel acak diskrit X dikatakan mempunyai distribusi poisson jika fungsi peluangnya berbentuk : P(x) = P(X = x) = e^(-λ)/x! λx Dengan x = 1, 2, 3, … , sedangkan e = sebuah bilangan konstan yang jika dihitung hingga 4 desimal e = 2, 7183 dan λ ( baca : lambda ) = sebuah bilangan tetap juga. Distribusi Poisson ini memiliki parameter : µ = λ σ = √λ Distribusi Poisson sering digunakan untuk menentukan peluan sebuah peristiwa untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. APLIKASI LAIN DISTRIBUSI POISSON Penggunaan lain dari distribusi poisson adalah menyajikan pendekatan distribusi binomial. Anggaplah kita mempunyai distribusi binomial dimana n berukuran sangat besar dan np moderat (tidak terlalu besar dan tidak terlalu kedl). Sebagai contoh, misalnya kita mempunyak 500 orang pelajar yang masing-masing mempunyai probabilitas 0.00002m melakukan kecurangan dalarn ujian akhir. Perhitungan probabilitas keberhasilan sejumlah i dengan menggunakan fungsi kepekatan binomial tidak dapatdikontro. Jika = np, maka fungsi kepekatan binomial dapat didekati oleh distribusi poisson: Dalam contoh yang diberikan di atas, = np = 500 x (0.00002) = 0.01, jadi probabilitas dua orang melakukan kecurangan dalarn ujian adalah: e-O.0(10.01)2 0/2) x 10-5 Contoh lain dimana distribusi poisson dapat diaplikasikan: Jumlah novae dalarn galaksi kita pada dekade tertentu Jumlah film yang diputar untuk mendapatkan keuntungan kotor lebih dari 25juta dolar dalam satu tahun. Jumlah siswa Ph.D yang tidak dapat menyelesaikan disertasinya tepat waktu. Jumlah orang yang membeli buku ini, dan membelinya di New York City. PERHITUNGAN HARAPAN DAN VARIAN DARI VARIABEL ACAK POISSON Kita dapat menghitung harapan variabel acak poisson dengan fungsi kepekatan ini. Hasil ini masuk akal karena = np apabila distribusi poisson digunakan sebagai pendekatan pada distribusi binomial. Kita juga dapat menemukan bahwa var (X )= Distribusi Poisson mempunyai keistimewaan yaitu harapannya sarna dengan variannya. KESIMPULAN Anggaplah anda melakukan beberapa percobaan sebanyak n kali. Probabilitas mendapatkan keberhasilan dari berbagai percobaan adalah p. Misalnya X adalah variabel acak yang mewakili jumlah keberhasilan yang terjadi. Kemudian X dikatakan mempunyai a distribusi binomial dengan parameter n dan p. Probabilitas untuk X ditunjukan oleh formula: Harapan dan varian untuk X ditunjukkan oleh formula: E(X) =np Var(X) =np (1-p) Variabel acak X dikatakan mempunyai distribusi poisson dengan parameter jika fungsi kepekatannya ditunjukkan dengan formula: P(x) = P(X = x) = e^(-λ)/x! λx Harapan dan varian keduanya saran dengan : E(X) = λ Var(X) = λ